加拿大本科考前补习：滑铁卢大学微分方程导论期末考试复习题

　　滑铁卢大学的微分方程导论这门课程，秋季期末考试日期是2023年12月15号。虽然现在课程还没完全结束，想要在考试中取得好成绩的同学，已经可以开始着手备考咯~

　　滑铁卢大学的微分方程导论课程中，最主要的内容是微分方程导论中的导致微分返程的物理系统(比如机械震动、群体动力学和混合过程)、量纲分析和无量纲变量、解线性微分方程：一、二阶标量方程和一阶向量方程、解微分方程的拉普拉斯变换方法等。

　　下面我们给大家分享一些期末考试复习题，附有答案和解析，需要的同学可以先练习再总结噢~

　　1.考虑一个简谐振动系统，其运动方程为 m(d²x/dt²)+kx=0，其中m是质量，k是弹性系数。求解该微分方程，得到系统的解析解。

　　答案解析：

　　该微分方程是一个二阶线性常微分方程，可以设解为x(t) = Acos(ωt + Φ)，其中A是振幅，ω是角频率，Φ是相位。将解代入运动方程，可以得到A和ω的关系式，进一步求解得到解析解。

　　将x(t) = Acos(ωt + Φ)代入运动方程，得到-mω²Acos(ωt + Φ) + kAcos(ωt + Φ) = 0。根据余弦函数的性质，可以得到ω=√(k/m)。因此，系统的解析解为x(t) = Acos(√(k/m)t+Φ)。

　　2.考虑一个混合过程，其中物质从一个容器中流出，并以一定速率被另一个容器中的新鲜物质替代。假设物质的流出速率与容器中物质的浓度成正比。建立一个一阶线性微分方程来描述该混合过程，并求解该微分方程。

　　答案解析：

　　设物质的浓度为C(t)，流出速率为kC(t)，其中k是比例常数。根据题意，可以建立以下微分方程：dC/dt=-kC。

　　将微分方程dC/dt=-kC进行分离变量并积分，得到∫1/CdC=-∫kdt。解得ln|C|=-kt+C₁，其中 C₁是积分常数。进一步求解得到解析解为C(t) = C₀e^kt，其中C₀=e^C_1。

　　3.考虑一个电路中的电感和电阻，其中电感的电流满足微分方程L(di/dt)+Ri=V(t)，其中 L是电感的感应系数，R是电阻的电阻系数，V(t)是外加电压。使用拉普拉斯变换方法求解该微分方程。

　　答案解析：

　　对微分方程两边同时进行拉普拉斯变换，得到Lsl(s)+Rl(s)=V(s)，其中l(s)和V(s)分别是电流和电压的拉普拉斯变换。解得l(s)=V(s)/Ls+R。

　　将拉普拉斯变换后的表达式反变换回时域，得到电流的解析解为I(t)=L^-1[V(s)/Ls+R]。

　　以上就是滑铁卢大学微分方程导论期末考试相关题目分享。备考时有任何不懂的问题，欢迎各位同学联系考而思的一对一考前冲刺补习老师!