麻省理工学院本科应用数学原理作业讲解

　　麻省理工学院应用数学原理Principles Of Applied Mathematics这门课要求学生完成多变量微积分和微分方程后修习。该课程寒假应用数学的基本概念，包括交通流、流体、弹性、颗粒流等的应用。下面一起来了解一下这门课程的作业重点以及相关信息。
      一、课程概述
这门课还包括连续统极限;守恒定律，准平衡;运动波;特征，简单波，震荡;扩散(线性和非线性);波动方程的数值解:有限差分、一致性、稳定性;离散和快速傅立叶变换;光谱方法;变换和级数(傅立叶、拉普拉斯)。其他主题可能包括音爆、马赫锥、焦散线、晶格、扩散和群速度。使用MATLAB计算环境。

　　二、作业要求

　　这门课程每周的教学会有一个问题集(总共8个问题)，每个问题集分为两部分，常规和特殊部分。助教会给常规问题打分，导师会给特殊问题打分。

　　助教会在每组中随机选择一些问题评分;将为所有人提供答案。你需要完成所有的题目，如果不答题，将没有学分，即使你完成了其余的七道题。迟交作业将受到严厉处罚。

　　三、作业核心内容

　　1.非线性波中的一些基本问题

　　冲击波和水跃。描述和它们发生的各种物理环境:交通流量，浅水。什么是波?

　　连续应用数学中的基本概念。连续极限。守恒定律，准平衡。运动波。

　　交通流量。连续统假说。数学模型的守恒和推导。积分和微分形式。使用守恒推导模型方程的系统的其他例子(非线性弹性、流体等。)

　　传递函数方程的线性化及其求解。意义和解释。完全非线性TF问题的解。特征线法，解的图解，波浪破碎。弱间断、冲击波和稀薄风扇。特性包线。模型中的不可逆性。

　　拟线性一阶偏微分方程。

　　冲击结构，扩散率。伯格方程。科尔-霍普夫变换。热量方程:推导，解决方案，以及应用到汉堡的方程。无粘极限和拉普拉斯方法。

　　量纲分析。非线性扩散和锋面。

　　2.数值解、级数和变换

　　波动方程的数值解。有限差分。好的和坏的数值方案:一致性，稳定性，冯诺依曼分析。关联方程。短波稳定性分析。

　　计算机和数字问题。MatLab。

　　傅立叶级数和冯诺依曼稳定性。离散和快速傅立叶变换。光谱方法。

　　变换和级数:傅立叶，拉普拉斯。

　　格子。费米-帕斯塔-乌兰问题。

　　3.其他作业内容

　　音爆。马赫锥。

　　焦散线。

　　浅水波。方程式。线性化和求解。辐射条件。特点和冲击。

　　随机漫步，布朗运动，扩散。

　　水波。方程的推导和线性化。分散和群体速度。弱非线性和孤波。扰动展开。

　　线性和非线性振荡，松弛。相平面方法和多重尺度。天体力学和机械振动的应用。

　　数学生物学和种群动力学中的动力系统例子。

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