集合与数
MA138
Sets and Numbers
学习目标
课程内容：
本课程旨在向学生展示通过抽象的数学推理可以得出什么结论。大学数学逐渐引入越来越抽象的概念和结构，对证明的要求也越来越高，直到数学学位课程结束时，学生的大部分时间都用于理解证明和创建自己的证明。本课程将弥合高中和大学数学之间的差距，从一些相当具体的方法开始，重点放在计算上，并逐渐转向抽象和证明。
课程大纲：
1、数字：
- 数字系统：自然数、整数、有理数和实数。非有理数的存在。
- 欧几里得算法；最大公因数和最小公倍数。
- 质数、质因数分解的存在性和唯一性。
- 交换性、结合性和分配性的性质。
- 质数的无穷性。
- 整数求和级数；归纳法证明。
2、语言：
- 基本集合论：交集、并集、维恩图和德摩根定律。
- 逻辑连接词、或、暗示及其与交集和并集的关系。
3、多项式：
- 多项式的乘法和长除法。
- 二项式定理。
- 多项式的欧几里得算法。
- 余数定理；n次多项式最多有n个根。
- 有理函数和部分分数。
- 实数的非完备性，复数的完备性。
4、计数：
- 作为对射、单射和全射练习的基础组合学。
- 集合X的子集集的基数大于X的基数。
- 罗素悖论。
- 笛卡尔积的定义。
- 有理数的可数性，实数的不可数性。
课程的第二部分探讨了被称为群的基本代数结构的基本属性。群在数学及其他领域中有着广泛的应用，可用于分析几何对象或物理系统的对称性。
5、模运算：
- 整数模n的加法、乘法和除法。
- 模运算的一些定理。
- 等价关系。
6、置换和对称群：
- 乘法（合成）置换。
- 周期和不相交周期表示。
- 置换的符号。
- 基本群论。
学习成果：
在本课程结束时，学生应能够：
1、使用数制并熟练掌握其属性。
2、学习集合和量词、函数和关系的语言。
3、熟悉各种证明方法和风格。
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